Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
（1）當(dāng)橢圓的離心率e=

1

2

，一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=4 時(shí)，求橢圓方程；
（2）設(shè)P（x，y）是橢圓上一點(diǎn)，在（1）的條件下，求z=x+2y的最大值及相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）過(guò)B（0，-b）作橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的弦，若弦長(zhǎng)的最大值不是2b，求橢圓離心率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)題中條件：“橢圓的離心率e=

1

2

，一條準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=4”列出方程解出a，b，c．從而得出橢圓方程．
（2）因?yàn)镻（x，y）在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上，根據(jù)橢圓的參數(shù)方程，可設(shè)x=2cosθ，y=

3

sinθ，將z=x+2y表示成三角函數(shù)的形式，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值，從而得出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）設(shè)弦為BP，其中P（x，y），得出BP的表達(dá)式，因?yàn)锽P的最大值不是2b，又f（b）=4b²，得出f（y）不是在y=b時(shí)取最大值，而是在對(duì)稱(chēng)軸y=

b3

c2

處取最大值，最后解得b，c的關(guān)系，解得離心率的范圍即可．

解答：解：（1）∵

e= c a = 1 2 a2 c =4

，∴c=1，a=2，b=

3

，橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）因?yàn)镻（x，y）在橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上，所以可設(shè)x=2cosθ，y=

3

sinθ，
則z=2cosθ+2

3

sinθ=4sin(θ+

π

6

)≤4，∴z_max=4，此時(shí)θ=2kπ+

π

3

(k∈Z)，
相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)為(1，

3

2

)．
（3）設(shè)弦為BP，其中P（x，y），∵BP2=x2+(y+b)2=a2-

a2

b2

y2+y2+2by+b2
=-

c2

b2

y2+2by+a2+b2=-

c2

b2

(y-

b3

c2

)+

b4

c2

+a2+b2=f(y)，(-b≤y≤b)，
因?yàn)锽P的最大值不是2b，又f（b）=4b²，
所以f（y）不是在y=b時(shí)取最大值，而是在對(duì)稱(chēng)軸y=

b3

c2

處取最大值，
所以

b3

c2

＜b，所以b²＜c²，解得離心率e∈(

2

2

，1)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)與其性質(zhì)的應(yīng)用，注意（3）的處理問(wèn)題的一般方法，首先求出弦長(zhǎng)的函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)題意、結(jié)合有關(guān)性質(zhì)，化簡(jiǎn)、轉(zhuǎn)化、計(jì)算，最后得到結(jié)論．