Question

10．已知過拋物線y²=$\frac{16}{3}$x的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，交其準線于C點，已知$\overrightarrow{CB}$=3$\overrightarrow{BF}$，則線段AB的中點M到準線的距離為（　�。�

• A． $\frac{8}{3}$
• B． 3
• C． $\frac{16}{3}$
• D． 6

Answer 1

分析 構造輔助線，由已知$\overrightarrow{CB}$=3$\overrightarrow{BF}$，及拋物線可知，求得丨BC丨及丨DC丨的關系，即可求得直線的傾角，由中位線定理及橢圓的性質，求得即丨MP丨=$\frac{1}{2}$丨AB丨，可求出線段AB的中點到拋物線準線的距離．

解答 解：拋物線y²=$\frac{16}{3}$x，焦點坐標為（$\frac{4}{3}$，0）
過點A、B和M分別做準線的垂線交準線于E、D和F點，
∵$\overrightarrow{CB}$=3$\overrightarrow{BF}$，
$\overrightarrow{CB}$=3$\overrightarrow{BF}$，且|BF|=|BD|，丨AE丨=丨AF丨，
設丨BF丨=丨BD丨=a，直線AB的傾角為α，
∴丨BC丨=3a，丨DC丨=2$\sqrt{2}$a，
sinα=sin∠DBC=$\frac{丨DC丨}{丨BC丨}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
AB的斜率為-2$\sqrt{2}$，
直線AB的方程為：y=-2$\sqrt{2}$（x-$\frac{4}{3}$），
代入橢圓方程整理得：9x²-30+16=0，
x₁+x₂=$\frac{10}{3}$，
線段丨AB丨=p+x₁+x₂=6，
由中位線定理可知：線段AB的中點M到準線的距離為d=$\frac{1}{2}$丨AB丨=3，
故答案選：B．

點評 本題考查解決拋物線上的點到焦點的距離問題，中位線定理，利用拋物線的定義將到焦點的距離轉化為到準線的距離是關鍵，屬于中檔題．