Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）求的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對(duì)于任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的增區(qū)間是；

遞減區(qū)間是；（3）.

【解析】試題分析：（1）求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，再求出,可得的值，即得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間， 求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（3）對(duì)于任意，都有等價(jià)于，令， ，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，從而可得結(jié)果.

試題解析：（1）因?yàn)楹瘮?shù)，所以,

.又因?yàn)?/span>，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（2）函數(shù)定義域?yàn)?/span>， 由（1）可知， .

令解得.

與在區(qū)間上的情況如下：

	減	極小值	增

所以， 的單調(diào)遞增區(qū)間是；

的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（3）當(dāng)時(shí)，“”等價(jià)于“”.

令， ，

， .

當(dāng)時(shí)， ，所以在區(qū)間單調(diào)遞減.

當(dāng)時(shí)， ，所以在區(qū)間單調(diào)遞增.

而，

.

所以在區(qū)間上的最大值為.

所以當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意，都有.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線方程以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù).本題（3）是利用方法 ① 求得實(shí)數(shù)的取值范圍.