Question

18．如圖，動點P從邊長為1的正方形ABCD的頂點A出發(fā)，順次經(jīng)過B、C、D再回到A．用x表示P點經(jīng)過的路程，y表示AP的長，則當1＜x＜2時，$\frac{y^2}{x}$的最小值為（　�。�

• A． 2$\sqrt{2}$
• B． 3$\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$-2
• D． 3$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 先求出y關(guān)于x的解析式，再根據(jù)基本不等式即可求出答案．

解答 解：當P在BC上時，即1＜x＜2，y=PA=$\sqrt{1+（x-1）^{2}}$；
則（x-1）²+1=y²，y＞1，
所以$\frac{{y}^{2}}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}+1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2x+2}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-2≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$-2=2$\sqrt{2}$-2，當且僅當x=$\sqrt{2}$時取等號，
所以$\frac{y^2}{x}$的最小值為2$\sqrt{2}$-2，
故選：C．

點評 本題的考點是函數(shù)解析式的求法以及函數(shù)的簡單應用，以及基本不等式，屬于基礎題