Question

已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的函數(shù)，若對(duì)于任意的x，y∈[-1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時(shí)，有f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）根據(jù)題意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0．
（2）令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），即f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
又x∈[-1，1]，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴f（x）是奇函數(shù)．
（3）設(shè)x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0．
∵x＞0時(shí)，有f（x）＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，
又∵f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
分析：（1）根據(jù)題意，用特殊值法，令x=y=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），計(jì)算可得答案；
（2）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），進(jìn)而由（1）的結(jié)論，可得f（-x）=-f（x），考慮f（x）的定義域，可得答案；
（3）設(shè)x₁，x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，結(jié)合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁），又由題意，x＞0時(shí)，有f（x）＞0，可得f（x₂）＞f（x₁），即可得證明．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，涉及函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的判斷，解此類題目，注意特殊值法的運(yùn)用．