Question

如圖，儲油灌的表面積S為定值，它的上部是半球，下部是圓柱，半球的半徑等于圓柱底面半徑．
（1）試用半徑r表示出儲油灌的容積V，并寫出r的范圍．
（2）當(dāng)圓柱高h(yuǎn)與半徑r的比為多少時，儲油灌的容積V最大？

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由表面積S為定值，用r表示出h，可得儲油灌的容積V及r的范圍；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的極大值即最大值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）∵S=2πr²+2πrh+πr²=3πr²+2πrh，∴h=

S-3πr2

2πr

，…（3分）
∴V=

2

3

πr3+πr2h=

rS

2

-

5

6

πr3   (0＜r＜

3πS

3π

)；                           …（7分）
（2）∵V′=

S

2

-

5

2

πr2，令V'=0，得r=

5πS

5π

，列表

r	(0， 5πS 5π )	5πS 5π	( 5πS 5π ， 3πS 3π )
V'（r）	+	0	-
V（r）	↗	極大值即最大值	↘

…（11分）
∴當(dāng)r=

5πS

5π

時，體積V取得最大值，此時h=

5πS

5π

，
∴h：r=1：1．…（13分）
答：儲油灌容積V=

rS

2

-

5

6

πr3   (0＜r＜

3πS

3π

)，當(dāng)h：r=1：1時容積V取得最大值．…（15分）

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．