9.已知f(x)=ax3-x2-x+b(a,b∈R),g(x)=$\frac{{3\sqrt{e}}}{4}{e^x}(e$是自然對數(shù)的底數(shù)),f(x)的圖象在x=-$\frac{1}{2}$處的切線方程為y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$.
(1)求a,b的值; 
(2)探究:直線y=$\frac{3}{4}x+\frac{9}{8}$.是否可以與函數(shù)g(x)的圖象相切?若可以,寫出切點坐標,否則,說明理由
(3)證明:當x∈(-∞,2]時,f(x)≤g(x).

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)切線方程求出a的值,求出A的坐標,得到關(guān)于b的方程,解出即可;
(2)設(shè)出切點A,根據(jù)切線方程求出A的坐標,從而求出切線方程,整理即可;
(3)問題轉(zhuǎn)化為x∈(-∞,2]時,f(x)≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$,令k(x)=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$-f(x)=-x3+x2+$\frac{7}{4}$x+$\frac{1}{2}$,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

解答 解:(1)f′(x)=3ax2-2x-1,
∵f(x)的圖象在x=-$\frac{1}{2}$處的切線方程是y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$,
故f′(-$\frac{1}{2}$)=$\frac{3}{4}$,即3a•(-$\frac{1}{2}$)2•(-$\frac{1}{2}$)-1=$\frac{3}{4}$,解得:a=1;
故f(x)的圖象過A(-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$),
故(-$\frac{1}{2}$)3-(-$\frac{1}{2}$)2-(-$\frac{1}{2}$)+b=$\frac{3}{4}$,解得:b=$\frac{5}{8}$,
綜上,a=1,b=$\frac{5}{8}$;
(2)設(shè)直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$與函數(shù)g(x)的圖象相切于A(x0,y0),
∵g′(x)=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$ex,∴過A點的直線的斜率是g′(x0)=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e${\;}^{{x}_{0}}$,
又直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$的斜率是$\frac{3}{4}$,
故$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e${\;}^{{x}_{0}}$=$\frac{3}{4}$,解得:x0=-$\frac{1}{2}$,
將x0=-$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$ex,得點A的坐標是(-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$),
故切線方程為:y-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$(x+$\frac{1}{2}$),化簡得y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$,
故直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$可以與函數(shù)g(x)的圖象相切,切點坐標是(-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$);
(3)證明:要證明:x∈(-∞,2]時,f(x)≤g(x),
只需證明x∈(-∞,2]時,f(x)≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$,
令k(x)=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$-f(x)=-x3+x2+$\frac{7}{4}$x+$\frac{1}{2}$,
k′(x)=-3x2+2x+$\frac{7}{4}$,令k′(x)=-3x2+2x+$\frac{7}{4}$=0,
解得:x=-$\frac{1}{2}$,x=$\frac{7}{6}$,
故k(x)min=min{k(-$\frac{1}{2}$),k(2)},
∵k(-$\frac{1}{2}$)=0,k(2)=0,故k(x)min=0,
故?x∈(-∞,2],f(x)≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$成立,
?x∈(-∞,2],令h(x)=g(x)-($\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$)=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$ex-$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{8}$,
h′(x)=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$ex-$\frac{3}{4}$,令h′(x)=0,x=-$\frac{1}{2}$,
x∈(-∞,-$\frac{1}{2}$)時,h′(x)<0,當x∈(-$\frac{1}{2}$,2]時,h′(x)>0,
故h(x)≥h(-$\frac{1}{2}$)=0,即?x∈(-∞,2]時,g(x)≥$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$,
由不等式的性質(zhì)的傳遞性得:x∈(-∞,2]時,f(x)≤g(x).

點評 本題考查了切線方程問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,是一道綜合題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.環(huán)境監(jiān)測中心監(jiān)測我市空氣質(zhì)量,每天都要記錄空氣質(zhì)量指數(shù)(指數(shù)采取10分制,保留一位小數(shù)).現(xiàn)隨機抽取20天的指數(shù)(見下表),將指數(shù)不低于8.5視為當天空氣質(zhì)量優(yōu)良.
 天數(shù) 134 7 810 
 空氣質(zhì)量指數(shù) 7.18.3  7.3 9.5 8.6 7.7 8.7 8.88.7  9.1
 天數(shù) 1112 13 14 1516 17 18 19 20 
 空氣質(zhì)量指數(shù) 7.4 8.5 9.7 8.4 9.6 7.6 9.4 8.9 8.3 9.3
(Ⅰ)求從這20天隨機抽取3天,至少有2天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率;
(Ⅱ)以這20天的數(shù)據(jù)估計我市總體空氣質(zhì)量(天數(shù)很多).若從我市總體空氣質(zhì)量指數(shù)中隨機抽取3天的指數(shù),用X表示抽到空氣質(zhì)量為優(yōu)良的天數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

20.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+ϕ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<ϕ<$\frac{π}{2}$)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為$\frac{π}{4}$,且圖象上一個最低點為$M(\frac{π}{3},-1)$.
(Ⅰ)求f(x)的表達式;
(Ⅱ)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個單位,再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若關(guān)于x的方程g(x)+k=0,在區(qū)間[0,$\frac{π}{2}$]上有且只有一個實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

17.已知函數(shù)f(x)=a(x-1),g(x)=(ax-1)ex,a∈R.
(Ⅰ)判斷直線y=f(x)能否與曲線y=g(x)相切,并說明理由;
(Ⅱ)若不等式f(x)>g(x)有且僅有兩個整數(shù)解,求a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

4.已知函數(shù)f(x)=|x+5|-|x-1|(x∈R).
( I)解關(guān)于x的不等式f(x)≤x;
( II)證明:記函數(shù)f(x)的最大值為k,若lga+lg(2b)=lg(a+4b+k),試求ab的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7},則圖中陰影部分表示的集合為( 。
A.{1,2,3,4,5}B.{3,4,5,6,7}C.{1,2,3,4,5,6,7}D.{3,4,5}

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.對于三次函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),給出定義:設(shè)f′(x)是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù),f″(x)是f′(x)的導(dǎo)數(shù),若方程f″(x)=0有實數(shù)解x0,則稱點(x0,f(x0))為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn),任何一個三次函數(shù)都有“拐點”和對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x的對稱中心.
(Ⅱ)對于(Ⅰ)中的函數(shù)f(x),計算f(-98)+f(-97)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(99)+f(100).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)的左、右焦點為F1、F2,在雙曲線上存在點P滿足3|$\overrightarrow{P{F_1}}+\overrightarrow{P{F_2}}|≤2|\overrightarrow{{F_1}{F_2}}$|,則雙曲線的漸近線的斜率$\frac{a}$的取值范圍是( 。
A.$0<\frac{a}≤\frac{3}{2}$B.$\frac{a}≥\frac{3}{2}$C.$0<\frac{a}≤\frac{{\sqrt{5}}}{2}$D.$\frac{a}≥\frac{{\sqrt{5}}}{2}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.已知$\overrightarrow a=(1,1)$,$\overrightarrow b=(1,0)$,則$|{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}|$=$\sqrt{2}$.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案