分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)切線方程求出a的值,求出A的坐標,得到關(guān)于b的方程,解出即可;
(2)設(shè)出切點A,根據(jù)切線方程求出A的坐標,從而求出切線方程,整理即可;
(3)問題轉(zhuǎn)化為x∈(-∞,2]時,f(x)≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$,令k(x)=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$-f(x)=-x3+x2+$\frac{7}{4}$x+$\frac{1}{2}$,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
解答 解:(1)f′(x)=3ax2-2x-1,
∵f(x)的圖象在x=-$\frac{1}{2}$處的切線方程是y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$,
故f′(-$\frac{1}{2}$)=$\frac{3}{4}$,即3a•(-$\frac{1}{2}$)2•(-$\frac{1}{2}$)-1=$\frac{3}{4}$,解得:a=1;
故f(x)的圖象過A(-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$),
故(-$\frac{1}{2}$)3-(-$\frac{1}{2}$)2-(-$\frac{1}{2}$)+b=$\frac{3}{4}$,解得:b=$\frac{5}{8}$,
綜上,a=1,b=$\frac{5}{8}$;
(2)設(shè)直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$與函數(shù)g(x)的圖象相切于A(x0,y0),
∵g′(x)=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$ex,∴過A點的直線的斜率是g′(x0)=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e${\;}^{{x}_{0}}$,
又直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$的斜率是$\frac{3}{4}$,
故$\frac{3\sqrt{e}}{4}$e${\;}^{{x}_{0}}$=$\frac{3}{4}$,解得:x0=-$\frac{1}{2}$,
將x0=-$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$ex,得點A的坐標是(-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$),
故切線方程為:y-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$(x+$\frac{1}{2}$),化簡得y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$,
故直線y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$可以與函數(shù)g(x)的圖象相切,切點坐標是(-$\frac{1}{2}$,$\frac{3}{4}$);
(3)證明:要證明:x∈(-∞,2]時,f(x)≤g(x),
只需證明x∈(-∞,2]時,f(x)≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$,
令k(x)=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$-f(x)=-x3+x2+$\frac{7}{4}$x+$\frac{1}{2}$,
k′(x)=-3x2+2x+$\frac{7}{4}$,令k′(x)=-3x2+2x+$\frac{7}{4}$=0,
解得:x=-$\frac{1}{2}$,x=$\frac{7}{6}$,
故k(x)min=min{k(-$\frac{1}{2}$),k(2)},
∵k(-$\frac{1}{2}$)=0,k(2)=0,故k(x)min=0,
故?x∈(-∞,2],f(x)≤$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$成立,
?x∈(-∞,2],令h(x)=g(x)-($\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$)=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$ex-$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{8}$,
h′(x)=$\frac{3\sqrt{e}}{4}$ex-$\frac{3}{4}$,令h′(x)=0,x=-$\frac{1}{2}$,
x∈(-∞,-$\frac{1}{2}$)時,h′(x)<0,當x∈(-$\frac{1}{2}$,2]時,h′(x)>0,
故h(x)≥h(-$\frac{1}{2}$)=0,即?x∈(-∞,2]時,g(x)≥$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{8}$,
由不等式的性質(zhì)的傳遞性得:x∈(-∞,2]時,f(x)≤g(x).
點評 本題考查了切線方程問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明,是一道綜合題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
天數(shù) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
空氣質(zhì)量指數(shù) | 7.1 | 8.3 | 7.3 | 9.5 | 8.6 | 7.7 | 8.7 | 8.8 | 8.7 | 9.1 |
天數(shù) | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
空氣質(zhì)量指數(shù) | 7.4 | 8.5 | 9.7 | 8.4 | 9.6 | 7.6 | 9.4 | 8.9 | 8.3 | 9.3 |
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A. | {1,2,3,4,5} | B. | {3,4,5,6,7} | C. | {1,2,3,4,5,6,7} | D. | {3,4,5} |
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A. | $0<\frac{a}≤\frac{3}{2}$ | B. | $\frac{a}≥\frac{3}{2}$ | C. | $0<\frac{a}≤\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ | D. | $\frac{a}≥\frac{{\sqrt{5}}}{2}$ |
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