Question

4．已知函數f（x）=|x+5|-|x-1|（x∈R）．
（ I）解關于x的不等式f（x）≤x；
（ II）證明：記函數f（x）的最大值為k，若lga+lg（2b）=lg（a+4b+k），試求ab的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的x的范圍，取并集即可；
（Ⅱ）求出k的值，結合已知得到ab-2$\sqrt{ab}$-3≥0，解出即可．

解答 解：（I）由x≤-5和-（x+5）+（x-1）≤x⇒-6≤x≤-5
由-5＜x＜1和（x+5）+（x-1）≤x⇒-5＜x≤-4，
由x≥1和（x+5）-（x-1）≤x⇒x≥6，
因此{x|-6≤x≤-4或x≥6}；
（II）由f（x）=|x+5|-|x-1|≤|x+5-x+1|=6，故k=6，
由lga+lg（2b）=lg（a+4b+k），
得2ab=a+4b+6，
得2ab≥4$\sqrt{ab}$+6，
故ab-2$\sqrt{ab}$-3≥0，
即（$\sqrt{ab}$-3）（$\sqrt{ab}$+1）≥0，
解得：$\sqrt{ab}$≥3，
故ab≥9．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．