Question

在四棱錐P-ABCD中，△PBC為正三角形，AB⊥平面PBC，AB∥CD，AB=DC，E為PD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：平面ADP⊥平面PDC．

Answer 1

證明：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)M，連接EM，…（2分）
∵△PCE中，E、M分別為PD、PC的中點(diǎn)
∴EM∥CD，EM=DC，
又∵CD∥AB且AB=DC，
∴EM∥AB，EM=AB，
∴四邊形ABME是平行四邊形．
∴AE∥BM，
∵AE?平面PBC，AE?平面PBC
∴AE∥平面PBC．…（7分）
（Ⅱ）∵AB⊥平面PBC，AB∥CD，
∴CD⊥平面PBC，
結(jié)合BM?平面PBC，所以CD⊥BM．
∵在正△PBC中，M是PC中點(diǎn)
∴BM⊥PC，
∵CD∩PC=C，CD、PC?平面PDC，
∴BM⊥平面PDC，
又∵AE∥BM，
∴AE⊥平面PDC
∵AE?平面ADP，
∴平面ADP⊥平面PDC…（14分）
分析：（I）取PC的中點(diǎn)M，連接EM，利用△PCE的中位線，得到EM∥CD，EM=DC，再結(jié)合CD∥AB且AB=DC，得到四邊形ABME是平行四邊形．從而得出AE∥BM，最后用線面平行的判定定理可以證出AE∥平面PBC；
（II）利用線面垂直的性質(zhì)結(jié)合AB∥CD，得到CD⊥平面PBC，從而得出CD⊥BM，再結(jié)合PC⊥BM，利用線面垂直的判定定理，得到BM⊥平面PDC，最后結(jié)合AE∥BM，得到AE⊥平面PDC，結(jié)合平面與平面垂直的判定定理，可得平面ADP⊥平面PDC．
點(diǎn)評：本題借助于一個特殊的幾何體模型，通過證明直線與平面平行和平面與平面垂直，著重考查了直線與平面平行的判定定理和平面與平面垂直的判定定理等知識點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．