Question

（本小題滿分12分）已知三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，，，點(diǎn)在上．

（1）若是中點(diǎn)，求證：平面；

（2）當(dāng)時(shí)，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)BC1,交B1C于E,連結(jié)DE.由三角形中位線定理可知，可得平面；

（2）由題意可知，兩兩垂直，所以可以以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量可計(jì)算二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明:連結(jié)BC1,交B1C于E,連結(jié)DE.

∵ 直三棱柱ABC-A1B1C1,D是AB中點(diǎn),

∴側(cè)面BB1C1C為矩形,DE為△ABC1的中位線

∴ DE// AC1. 2分

∵DE平面B1CD, AC1平面B1CD

∴AC1∥平面B1CD 4分

（2）∵ AC⊥BC, 所以如圖,以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-.

則B (3, 0, 0),A (0, 4, 0),A1 (0, 4, 4),B1 (3, 0, 4). 6分

設(shè)D (a, b, 0)(,),

∵點(diǎn)D在線段AB上,且, 即.

∴. ,,. 8分

平面BCD的法向量為.，

設(shè)平面B1CD的法向量為,

由 ,, 得 ,

所以,. 10分

設(shè)二面角的大小為,

所以二面角的余弦值為. 12分

考點(diǎn)：線面平行的判定與性質(zhì)，空間向量的應(yīng)用.