Question

1．已知定義在R上的減函數(shù)y=f（x），若實(shí)數(shù)a，b使不等式f（a²-2a）≥f（b²-2b）恒成立，則當(dāng)1≤b≤2時(shí)，$\frac{a+b}{a+1}$的取值范圍是（　�。�

• A． [0，3]
• B． （0，3]
• C． [1，2]
• D． （1，2]

Answer 1

分析 根據(jù)y=f（x）是定義在R上的減函數(shù)，得不等式f（a²-2a）≥f（b²-2b）等價(jià)于（a-b）（a+b-2）≥0．作出aob直角坐標(biāo)系如圖，畫出不等式組表示的平面區(qū)域，將動(dòng)點(diǎn)P（a，b）在區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)并結(jié)合直線的斜率公式，可得取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x）是定義在R上的減函數(shù)，
∴任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a≥（b²-2b）成立，
即a²-2a≤b²-2b，化簡(jiǎn)得（a-b）（a+b-2）≤0
以a、b分別為橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，
建立aob直角坐標(biāo)系，
作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{（a-b）（a+b-2）≥0}\\{1≤b≤2}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域，
則$\frac{a+b}{a+1}$=1+$\frac{b-1}{a+1}$，而$\frac{b-1}{a+1}$表示區(qū)域內(nèi)點(diǎn)
與A（-1，1）的斜率，
其中B（1，1），C（0，2）
∴k_AB=0，k_AC=$\frac{2-1}{0+1}$=1，
∴0≤$\frac{b-1}{a+1}$≤1，
∴1≤$\frac{a+b}{a+1}$≤2，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題以函數(shù)的單調(diào)性為載體，求解不等式恒成立時(shí)參數(shù)的取值范圍，著重考查了函數(shù)單調(diào)性、二元一次不等式表示的平面區(qū)域和直線的斜率公式等知識(shí)，屬于中檔題．