Question

11．已知函數(shù)f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x²-2ax+3）
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)的值域；
（2）是否存在a∈R，使f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，若存在，求出a的取值范圍，不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=-1時，可得到$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}+2x+3）$，配方即可求得x²+2x+3≥2，這樣根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求得f（x）的值域；
（2）可看出f（x）是由t=x²-2ax+3及$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{4-4a+3＞0}\end{array}\right.$，而該不等式組無解，從而得出不存在a使f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增．

解答 解：（1）a=-1時，$f（x）=lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}+2x+3）$；
∵x²+2x+3=（x+1）²+2≥2；
∴$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{x}^{2}+2x+3）≤lo{g}_{\frac{1}{2}}2=-1$；
即f（x）≤-1；
∴函數(shù)值域為（-∞，-1]；
（2）f（x）是由t=x²-2ax+3和$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$復(fù)合成的復(fù)合函數(shù)，且$y=lo{g}_{\frac{1}{2}}t$單調(diào)遞減；
又f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增，設(shè)t=g（x），則：
g（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞減，且g（2）＞0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{4-4a+3＞0}\end{array}\right.$；
解得a∈∅；
∴不存在a使f（x）在（-∞，2）上單調(diào)遞增．

點評 考查值域的概念及求法，配方求二次函數(shù)值域的方法，復(fù)合函數(shù)的定義，以及復(fù)合函數(shù)、二次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．