Question

14．已知函數(shù)f（x）=log_ag（x）（x∈I），其中a＞0且a≠1．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，試證明：對任意的x∈I，恒有g(shù)（x）•g（-x）=1；
（Ⅱ）若對于g（x）=ax，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值是2，試求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）設g（x）=ax²-x（x∈[3，4]）且0＜a＜1，問：是否存在實數(shù)a，使得對任意的x₁，x₂∈[3，4]，都有f（x₁）＞${a}^{{x}_{2}-3}$？如果存在，請求出a的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）由函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，可得f（-x）+f（x）=log₂[g（-x）g（x）]=0，即可證明；
（II）g（x）=ax，f（x）=log_a（ax）=1+log_ax，對a分類討論，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（III）假設存在實數(shù)a，使得對任意的x₁，x₂∈[3，4]，都有f（x₁）＞${a}^{{x}_{2}-3}$，則等價于對任意的x₁，x₂∈[3，4]，f（x₁）_min＞$（{a}^{{x}_{2}-3}）_{max}$．令u（x）=a^x-3，x∈[3，4]，可得u（x）_max=a^3-3=1．于是問題等價于x∈[3，4]，f（x）_min＞1．再利用復合函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=log_ag（-x）+log_ag（x）=log₂[g（-x）g（x）]=0，
∴對任意的x∈I，恒有g(shù)（x）•g（-x）=1；
（II）g（x）=ax，f（x）=log_a（ax）=1+log_ax，
當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的單調(diào)遞減，∴當x=1時，函數(shù)f（x）取得最大值，f（1）=1+0=2，矛盾，舍去；
當1＜a時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的單調(diào)遞增，∴當x=2時，函數(shù)f（x）取得最大值，f（2）=1+log_a2=2，解得a=2；
綜上可得：a=2．
（III）假設存在實數(shù)a，使得對任意的x₁，x₂∈[3，4]，都有f（x₁）＞${a}^{{x}_{2}-3}$，則等價于對任意的x₁，x₂∈[3，4]，f（x₁）_min＞$（{a}^{{x}_{2}-3}）_{max}$．
令u（x）=a^x-3，x∈[3，4]，∵0＜a＜1，∴u（x）_max=a^3-3=1．
于是問題等價于x∈[3，4]，f（x）_min＞1．
f（x）=$lo{g}_{a}（a{x}^{2}-x）$=$lo{g}_{a}[a（x-\frac{1}{2a}）^{2}-\frac{1}{4a}]$，由ax²-x＞0，解得a$＞\frac{1}{x}$，∴$\frac{1}{3}＜a＜1$．∴$\frac{1}{2}＜\frac{1}{2a}＜\frac{3}{2}$，
因此g（x）=$a（x-\frac{1}{2a}）^{2}-\frac{1}{4a}$在x∈[3，4]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在x∈[3，4]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（4）=log_a（16a-4）＞1=log_aa，
∴0＜16a-4＜a，
解得$\frac{1}{4}＜a＜\frac{4}{15}$，
又$\frac{1}{3}＜a＜1$．
∴a∈∅，
因此假設不成立，即存在實數(shù)a，使得對任意的x₁，x₂∈[3，4]，都有f（x₁）＞${a}^{{x}_{2}-3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性、復合函數(shù)的單調(diào)性、分類討論思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．