Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx，g（x）=bx²．
（1）求函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，方程f（x）=g（x）在[1，2e]上有唯一解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）當(dāng)b=$\frac{1}{4}$時(shí)，如果對(duì)任意的s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）＞g（t）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可討論函數(shù)h（x）=$\frac{f（x）}{x}$的單調(diào)性；
（2）b=$\frac{lnx}{x}$，令y=$\frac{lnx}{x}$，則y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，在[1，e]上，y′＞0，在[e，2e]上，y′＜0，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）求出g（x）_max=g（2）=1，當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時(shí)，f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx恒成立，等價(jià)于a≥x-x²lnx恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)u（x）=x-x²lnx在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]上取得最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍可求．

解答 解：（1）h（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{a}{{x}^{2}}$+lnx，
∴h′（x）=-$\frac{2a}{{x}^{3}}$+$\frac{1}{x}$，
∴a≤0時(shí)，h′（x）≥0，函數(shù)單調(diào)遞增；
a＞0時(shí)，函數(shù)在（$\sqrt{2a}$，+∞）上單調(diào)遞增，在（0，$\sqrt{2a}$）上單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，方程f（x）=g（x）為xlnx=bx²，
∴b=$\frac{lnx}{x}$，
令y=$\frac{lnx}{x}$，則y′=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，在[1，e]上，y′＞0，在[e，2e]上，y′＜0，
∴x=e，y_max=$\frac{1}{e}$，
∴b∈（0，$\frac{ln2e}{2e}$]∪{$\frac{1}{e}$}；
（3）當(dāng)b=$\frac{1}{4}$時(shí)，g（x）=$\frac{1}{4}$x²，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，g（x）_max=g（2）=1，
所以當(dāng)x∈[$\frac{1}{2}$，2]時(shí)，f（x）=$\frac{a}{x}$+xlnx＞1恒成立，等價(jià)于a＞x-x²lnx恒成立，
記u（x）=x-x²lnx，所以a＞u（x）_max，u′（x）=1-x-2xlnx，可知u′（1）=0，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，1）時(shí)，1-x＞0，2xlnx＜0，則u′（x）＞0，∴u（x）在x∈（$\frac{1}{2}$，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，1-x＜0，2xlnx＞0，則u′（x）＜0，∴u（x）在（1，2）上單調(diào)遞減；
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)u（x）在區(qū)間[$\frac{1}{2}$，2]，上取得最大值u（1）=1，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和函數(shù)構(gòu)造法，訓(xùn)練了利用分離變量法求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題．