Question

已知兩點(diǎn)M和N分別在直線(xiàn)y＝mx和y＝－mx(m＞0)上運(yùn)動(dòng)，且|MN|＝2，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足：2＝＋ (O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)P的軌跡記為曲線(xiàn)C.

(1)求曲線(xiàn)C的方程，并討論曲線(xiàn)C的類(lèi)型；

(2)過(guò)點(diǎn)(0,1)作直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C交于不同的兩點(diǎn)A、B，若對(duì)于任意m＞1，都有∠AOB為銳角，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍.

Answer 1

(1)由2＝＋，得P是MN的中點(diǎn).

設(shè)P(x，y)，M(x₁，mx₁)，N(x₂，－mx₂)，依題意得：

，

消去x₁，x₂，整理得＋＝1.

當(dāng)m＞1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓；

當(dāng)0＜m＜1時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；

當(dāng)m＝1時(shí)，方程表示圓.

(2)由m＞1知方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C恒有兩交點(diǎn)，直線(xiàn)斜率不存在時(shí)不符合題意.

可設(shè)直線(xiàn)l的方程為y＝kx＋1，

直線(xiàn)與橢圓交點(diǎn)A(x₃，y₃)，B(x₄，y₄).

⇒(m⁴＋k²)x²＋2kx＋1－m²＝0.

x₃＋x₄＝－，x₃x₄＝.

y₃y₄＝(kx₃＋1)(kx₄＋1)＝＋＋1.

要使∠AOB為銳角，只需·＞0，

∴x₃x₄＋y₃y₄＝＞0.

即m⁴－(k²＋1)m²＋1＞0，可得m²＋＞k²＋1，

對(duì)于任意m＞1恒成立.

而m²＋＞2，∴k²＋1≤2，－1≤k≤1.

所以k的取值范圍是[－1,1].