Question

4．如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為邊長(zhǎng)為4的正方形，M是BC的中點(diǎn)，EF∥平面ABCD，且EF=2，AE=DE=BF=CF=$2\sqrt{2}$．
（1）求證：ME⊥平面ADE；
（2）求二面角B-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點(diǎn)N，連結(jié)NM，NE，推導(dǎo)出AD⊥ME，過(guò)E點(diǎn)，作EO⊥NM于O，推導(dǎo)出NE⊥ME，由此能證明ME⊥面ADE．
（2）建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-AE-D的余弦值．

解答 證明：（1）取AD的中點(diǎn)N，連結(jié)NM，NE，
則AD⊥NM，AD⊥NE，
∵NM∩NE=N，∴AD⊥平面NME，∴AD⊥ME，
過(guò)E點(diǎn)，作EO⊥NM于O，
根據(jù)題意得NO=1，OM=3，NE=2，∴OE=$\sqrt{3}$，EM=2$\sqrt{3}$，
∴△ENM是直角三角形，∴NE⊥ME，
∴ME⊥面ADE．
解：（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，根據(jù)題意得：
A（2，-1，0），B（2，3，0），D（-2，-1，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），M（0，3，0），
設(shè)平面BAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{AB}$=（0，4，0），$\overrightarrow{AE}$=（-2，1，$\sqrt{3}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=4y=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{n}=-2x+y+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=2，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，0，2），
由（1）知$\overrightarrow{ME}$=（0，-3，$\sqrt{3}$）為平面ADE的法向量，
設(shè)二面角B-AE-D的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ME}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{ME}|}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角B-AE-D的余弦值為$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．