Question

7．將一張邊長為6cm的紙片按如圖l所示陰影部分裁去四個(gè)全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個(gè)有底的正四棱錐（底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心）模型，如圖2放置．若正四棱錐的正視圖是正三角形（如圖3），則正四棱錐的體積是$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)圖形正四棱錐的正視圖是正三角形，正視圖的底面邊長為a，高為$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，正四棱錐的斜高為a，運(yùn)用圖1得出； $\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=a+$\frac{a}{2}$，a=2 $\sqrt{2}$，計(jì)算計(jì)算出a，代入公式即可．

解答 解：∵正四棱錐的正視圖是正三角形，正視圖的底面邊長為a，高為$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴正四棱錐的斜高為a，
∵圖1得出：∵將一張邊長為6cm的紙片按如圖1所示的陰影部分截去四個(gè)全等的等腰三角形
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$×6=a+$\frac{a}{2}$，a=2$\sqrt{2}$，
∴正四棱錐的體積是$\frac{1}{3}$×a²×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{8\sqrt{6}}{3}$，
故答案為：$\frac{8\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，展開圖與立體圖的結(jié)合，需要很好的空間思維能力，屬于中檔題．