Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+a²（a＞0）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2），且滿足f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）對任意m∈（0，2]，關(guān)于x的不等式在x∈（-∞，1]上恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+a²的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，2），
∴f′（x）＜0的解是1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的兩個(gè)根分別是1和2，且a＞0
從f（0）=a²=1且 a＞0可得a=1
又得
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∴x∈（-∞，1]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，1]上是增函數(shù)
對x∈（-∞，1]，當(dāng)x=1時(shí)，
要使在x∈（-∞，1]上恒成立，
即，
即對任意m∈（0，2]恒成立，
即對任意m∈（0，2]恒成立，
設(shè)，則t＜h（m）_min，令h′（m）=0，得m=1或m=-1
在m∈（0，2]，h′（m）的符號與h（m）的單調(diào)情況如下表：

m	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（m）	-	0	+	0
h（m）	↘	極小值	↗	極大值

∴m=1時(shí)，，
∴
分析：（I）由題意可知f'（x）＜0的解集為（1，2），即f'（x）=0的兩個(gè)根為1和2，利用根與系數(shù)的關(guān)系建立等式，以及滿足f（0）=1，建立方程組，解之即可求出函數(shù)f（x）的解析式．
（II）（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性得出當(dāng)x=1時(shí)，，要使在x∈（-∞，1]上恒成立，即，下面再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的最大值，即可得出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
點(diǎn)評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．