Question

3．已知函數f（x）=e^x（e=2.71828…是自然對數的底數），若a＜b，則$\frac{f（a）+f（b）}{2}$與$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$的大小關系是（　　）

• A． $\frac{f（a）+f（b）}{2}$＞$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$
• B． $\frac{f（a）+f（b）}{2}$=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$
• C． $\frac{f（a）+f（b）}{2}$＜$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$
• D． 無法確定

Answer 1

分析 作差，構造函數g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），利用導數研究其單調性即可比較大�。�

解答 解：$\frac{f（a）+f（b）}{2}$-$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$=$\frac{（b-a+2）+（b-a-2{）e}^{b-a}}{2（b-a）}$e^a，
令g（x）=x+2+（x-2）e^x（x＞0），則g′（x）=1+（x-1）e^x，
g^′′（x）=xe^x＞0，∴g′（x）在（0，+∞）上單調遞增，且g′（0）=0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上單調遞增，
而g（0）=0，∴在（0，+∞）上，有g（x）＞g（0）=0．
∵當x＞0時，g（x）=x+2+（x-2）•e^x＞0，且a＜b，
∴$\frac{（b-a+2）+（b-a-2{）e}^{b-a}}{2（b-a）}$e^a＞0，
即當a＜b時，$\frac{f（a）+f（b）}{2}$＞$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，
故選：A．

點評 本題考查了比較兩個實數的大小等基礎知識，考查了分類討論的思想方法、轉化與化歸思想方法，考查了推理能力和計算能力．