Question

已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁=4，a_n+1a_n+6a_n+1-4a_n-8=0，記b_n=

6

an-2

．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{a_n•b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可證得數(shù)列∴{b_n+1}是首項(xiàng)是b₁+1=

6

4-2

+1=4，公比為4的等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；
（2）分組后利用等比數(shù)列求和即可．

解答： 解：（1）∵b_n=

6

an-2

，
∴a_n=

6

bn

+2，
又∵a_n+1a_n+6a_n+1-4a_n-8=0，
∴（

6

bn+1

+2）（

6

bn

+2）+6（

6

bn+1

+2）-4（

6

bn

+2）-8=0，
整理得b_n+1=4b_n+3
b_n+1+1=4（b_n+1）
∴{b_n+1}是首項(xiàng)是b₁+1=

6

4-2

+1=4，公比為4的等比數(shù)列，
∴b_n+1=4×4^n-1=4ⁿ，
∴b_n=4ⁿ-1．
（2）a_nb_n=（

6

bn

+2）b_n=2b_n+6=2×4ⁿ+4=2²ⁿ⁺¹+4，
∴s_n=（2³+2⁵+…+2²ⁿ⁺¹）+4n=

23(1-4n)

1-4

+4n=

22n+3+12n-8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的求和公式等知識(shí)，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．