Question

2．已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）e^x，關(guān)于f（x）的性質(zhì)，有以下四個推斷：
①f（x）的定義域是（-∞，+∞）；
②函數(shù)f（x）是區(qū)間（0，2）上的增函數(shù)；
③f（x）是奇函數(shù)；
④函數(shù)f（x）在$x=\sqrt{2}$上取得最小值．其中推斷正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域，判斷①的正誤；利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最值，判斷②④的正誤；函數(shù)的奇偶性的定義判斷③的正誤；

解答 解：根據(jù)題意可得，函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，+∞），所以①為正確；
因為f'（x）=（2x-2）e^x+（x²-2x）e^x=（x²-2）e^x，當(dāng)$-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}$時，f'（x）＜0，所以函數(shù)f（x）在$（{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}）$為單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)$x＜-\sqrt{2}$或$x＞\sqrt{2}$時，f'（x）＞0，在$（{-∞，-\sqrt{2}}）$，$（{\sqrt{2}，+∞}）$為單調(diào)遞增函數(shù)，又y=x²-2x在（-∞，0），（2，+∞）上為正，在（0，2）上為負(fù)，所以函數(shù)在$x=\sqrt{2}$上取得最小值，所以④正確，②錯誤．
f（-x）=（x²+2x）e^-x，可見f（x）是非奇非偶函數(shù)，所以③錯誤．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值函數(shù)的判斷，考查計算能力．