Question

1．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n，都有3a_n=2S_n+3成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式即可求出數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；
（2）把數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式代入b_n=log₃a_n，求得b_n，再由裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）在3a_n=2S_n+3中，取n=1得a₁=3，
且3a_n+1=2S_n+1+3，
兩式相減得3a_n+1-3a_n=2a_n+1，
∴a_n+1=3a_n，
又a₁≠0，
∴數(shù)列{a_n}是以3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=3•3^n-1=3ⁿ；
（2）b_n=log₃a_n=n，
∴$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}•_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和T_n=（1$-\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）=1-$\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，屬于中檔題．