Question

11．半徑為2的球面上有三點(diǎn)A，B，C，滿足$AB=2\sqrt{3}，BC=2，AC=2\sqrt{2}$，若P為球面上任意一點(diǎn)，則三棱錐P-ABC體積的最大值為$2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，可知△ABC為球內(nèi)接直角三角形，連接三角形外接圓的圓心與球心交球于P，求出三棱錐的高，則三棱錐P-ABC體積的最大值可求．

解答 解：如圖，

∵$AB=2\sqrt{3}，BC=2，AC=2\sqrt{2}$，
∴AC⊥BC，設(shè)球心為O，AB的中點(diǎn)為G，連接GO并延長(zhǎng)交球于P，
此時(shí)三棱錐P-ABC體積的最大，
連接OA，在Rt△OGA中，則OG=$\sqrt{O{A}^{2}-A{G}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=1$．
則PG=3，
∴三棱錐P-ABC體積的最大值為V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2×3=2\sqrt{2}$．
故答案為：$2\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積的求法，考查了空間想象能力和思維能力，是中檔題．