Question

12．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常數(shù)，A＞0，ω＞0）的部分圖象如圖所示，則下列結論：①將f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，所得到的函數(shù)是偶函數(shù)：②f（0）=1；③最小正周期為π；④$f（\frac{12π}{11}）＜f（\frac{14π}{13}）$；⑤$f（x）=-f（\frac{5π}{3}-x）$．其中正確的結論有（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 根據(jù)圖象求出A，ω 和φ，即可求函數(shù)f（x）的解析式；在依次正弦函數(shù)圖象及性質判斷即可．

解答 解：由題設圖象知，A=2．
周期T=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{4π}{12}$）=π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=2．
∵點（$\frac{π}{3}$，0）在函數(shù)圖象上，
∴2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）=0，即$\frac{2π}{3}$+φ=kπ．
又∵x=$\frac{7π}{12}$時，函數(shù)f（x）取得最小值，即$\frac{7π}{6}+$φ=-$\frac{π}{2}$+2kπ．
∴同時滿足條件φ=$\frac{π}{3}$．
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
對于①：函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)y=2sin（2x$+\frac{2π}{3}$），所得到的函數(shù)不是偶函數(shù)；①不對．
對于②：當x=0時，可得f（0）=2sin（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$；②不對．
對于③：最小正周期為π．③對．
對于④：f（$\frac{12π}{11}$）=2sin（$\frac{24π}{11}$+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{83π}{33}$=2sin（$2π+\frac{17π}{33}$）=2sin（$\frac{17π}{33}$），
f（$\frac{14π}{13}$）=2sin（$\frac{28}{13}$+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{97π}{39}$=2sin（2π$+\frac{11π}{13}$）=2sin（$\frac{11π}{13}$），
由圖象可得：sin（$\frac{17π}{33}$）＜0，sin（$\frac{11π}{13}$）＞0，∴$f（\frac{12π}{11}）＜f（\frac{14π}{13}）$；④對．
對于⑤：f（$\frac{5π}{3}-x$）=2sin（$\frac{10π}{3}-2x+\frac{π}{3}$）=2sin（4π$-\frac{π}{3}$-2x）=-2sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-f（x）
∴$f（x）=-f（\frac{5π}{3}-x）$．⑤對．
綜上可得：③④⑤對．
故答案為：C．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關鍵．屬于中檔題．