Question

已知圓M：2x²+2y²-8x-8y-1=0，直線l：x+y-9=0，過(guò)l上一點(diǎn)A作△ABC，使得∠BAC=45°，邊AB過(guò)圓心M，且B，C在圓M上，求點(diǎn)A縱坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：先對(duì)圓的方程進(jìn)行配方，求出圓心坐標(biāo)和半徑，由點(diǎn)A在直線l上設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，由題意判斷出直線AC與圓M的位置關(guān)系，利用幾何法列出不等式，由條件和兩點(diǎn)之間的距離公式，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)再求出縱坐標(biāo)的范圍．

解答：解：由2x²+2y²-8x-8y-1=0得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-2）²+（y-2）²=

17

2

，
∴圓心M（2，2），半徑r=

34

2

，
∵直線l：x+y-9=0，∴設(shè)A（9-a，a），
∵B，C在圓M上，
∴直線AC和圓M相交或相切，
∴圓心M到AC的距離d≤r，
∵∠BAC=45°，
∴d=

2

2

|AM|，
因此

2

2

|AM|≤r，
即

2

2

•

(7-a)2+(a-2)2

≤

34

2

，
化簡(jiǎn)得，a²-9a+18≤0，解得3≤a≤6，
故點(diǎn)A的縱坐標(biāo)的取值范圍是[3，6]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了幾何法在直線與圓位置關(guān)系中的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間的距離公式，以及二次不等式的解法，關(guān)鍵是對(duì)條件的分析和相應(yīng)的轉(zhuǎn)化．