Question

求函數f(x)=2x⁴-2x³-x²+1的極值點與極值．

 

Answer 1

答案：
解析：

由f′(x)=0，容易求得函數的駐點，為了確定駐點是否為函數的極值點，需討論當自變量x從小到大經過駐點時，f′(x)的符號是否發(fā)生變化，為此以駐點為分界點，將定義域劃分為若干個區(qū)間，分別討論函數在上述區(qū)間中的符號，并由此確定函數f(x)在上述區(qū)間的增減性，從而得到所求得的駐點是否為函數f(x)的極值點． 　　f′(x)=8x3-6x2-2x 　　令f′(x)=0 　　即8x3-6x2-2x=0 　　解得f(x)的駐點為x1=-，x2=0，x3=1，上述駐點將函數f(x)的定義域分成四個區(qū)間，討論函數f′(x)在每一區(qū)間的符號，確定f(x)的增減性，并列表如下： x f′(x) f(x) (-∞，) - ↘ - 0 極小 (-，0) + ↗ 0 0 極大 (0，1) - ↘ 1 0 極小 (1，+∞) + ↗ 　　由上表可知：函數f(x)的極小點為x=與x=0，相應的極小值分別為f，f(1)=0，函數f(x)的極大點為x=0，相應的極大值為f(0)=1．

提示：

可導函數極值點的一個必要條件：“如果函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么f′(x0)=0，”這個結論十分重要，對可導函數來說，極值點一定是方程f′(x0)=0的根．方程f′(x0)=0的根叫做函數y=f(x)的駐點，于是可導函數的極值點一定是駐點，但函數的駐點不一定是極值點．利用函數的增減性，可判別函數的駐點是否為極值點：當x由小到大經過x0時，如果f′(x0)的符號由正變負(或由負變正)，那么函數y=f(x)就由遞增變?yōu)檫f減(或由遞減變?yōu)檫f增)，這樣x0就成為函數的極大點(或極小點)，f(x0)也就成為函數的極大值(或極小值)；若f′(x)的符號沒有變化，那么x0就不是函數的極值點．求可導函數極值的一般方法：(1)求函數f(x)的導數f′(x)；(2)令f′(x)=0，求出函數f(x)在其定義域內的駐點；(3)確定駐點是否為函數的極值點．