Question

已知f（x）=

ax+b

x2+1

為定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=

1

2

（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷并證明y=f（x）在（-1，0）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，由f（0）=0，f（1）=

1

2

聯(lián)立方程組可求a和b的值，則函數(shù)解析式可求；
（2）直接運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)y=f（x）在（-1，0）上的單調(diào)性．

解答：解：（1）因?yàn)閒（x）=

ax+b

x2+1

為定義在R上的奇函數(shù)，且f（1）=

1

2

，
所以

f(0)=0 f(1)= 1 2

，即

b=0 a+b 2 = 1 2

，解得：

a=1 b=0

．
所以，f（x）=

x

x2+1

．
（2）f(x)=

x

x2+1

在（-1，0）上為單調(diào)增函數(shù)．
證明：任取x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1x22+x1-x2x12-x2

(x12+1)(x22+1)

=

(1-x1x2)(x1-x2)

(x12+1)(x22+1)

．
因?yàn)閤₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂，
所以1-x₁x₂＞0，x₁-x₂＜0．
所以，f(x1)-f(x2)=

(1-x1x2)(x1-x2)

(x12+1)(x22+1)

＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
所以，函數(shù)y=f（x）在（-1，0）上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用賦值法求函數(shù)的解析式，考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，步驟是首先在給定的區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)自變量的值x₁，x₂，并且規(guī)定大小，然后把它們對(duì)應(yīng)的函數(shù)值作差，目的是判斷差式的符號(hào)，從而得到f（x₁）和f（x₂）的大小，最后根據(jù)定義得結(jié)論，此題是中檔題．