Question

（2013•烏魯木齊一模）已知函數(shù)f（x）=

lnx

a

-x．
（I）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與X軸平行，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對(duì)一切正數(shù)x，都有f（x）≤-1恒成立，求a的取值集合．

Answer 1

分析：（I）求導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

ax

-1，據(jù)題意k=f′（1）=0，解得a值，再在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（II）分a＜0，a＞0兩種情況討論：a＜0時(shí)易判斷不成立；a＞0時(shí)，轉(zhuǎn)化為f（x）的最大值小于等于-1，構(gòu)造函數(shù)可判斷a的取值范圍；

解答：（Ⅰ）∵f′（x）=

1

ax

-1，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=f′（1）=

1

a

-1，
依題意

1

a

-1=0，解得a=1，
∴f（x）=lnx-x，f′（x）=

1

x

-1，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x） 單調(diào)遞減；
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），減區(qū)間為（1，+∞）；      
（Ⅱ）若a＜0，因?yàn)榇藭r(shí)對(duì)一切x∈（0，1），都有

lnx

a

＞0，x-1＜0，所以

lnx

a

＞x-1，與題意矛盾，
又a≠0，故a＞0，由f′（x）=

1

ax

-1，令f′（x）=0，得x=

1

a

．
當(dāng)0＜x＜

1

a

時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞

1

a

時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x） 單調(diào)遞減；
所以f（x）在x=

1

a

處取得最大值

1

a

ln

1

a

-

1

a

，
故對(duì)?x∈R⁺，f（x）≤-1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?a∈R⁺，

1

a

ln

1

a

-

1

a

≤-1恒成立．
令

1

a

=t，g（t）=tlnt-t，t＞0．則g′（t）=lnt，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，g′（t）＜0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t＞1時(shí)，g′（t）＞0，函數(shù)g（t）單調(diào)遞增；
所以g（t）在t=1處取得最小值-1，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

=1，即a=1時(shí)，

1

a

ln

1

a

-

1

a

≤-1成立．
故a的取值集合為{1}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、曲線上某點(diǎn)切線方程，考查函數(shù)的最值求解，考查分類討論思想，考查函數(shù)恒成立問題的解決，轉(zhuǎn)化函數(shù)最值是解決恒成立問題的常用方法．