Question

圓C過(guò)點(diǎn)（0，-1），圓心在y軸的正半軸上，且與圓（x-4）²+（y-4）²=9外切．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）直線l過(guò)點(diǎn)（0，2）交圓C于A、B兩點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，求直線l的傾斜角α的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出圓的方程，利用圓C過(guò)點(diǎn)（0，-1），圓與圓（x-4）²+（y-4）²=9外切，建立方程，即可求圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為，求出以AB為直徑的圓半徑R，原點(diǎn)與l的距離d'，利用原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，可得d'＜R，從而可求直線l的傾斜角α的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）圓C的圓心在y軸的正半軸上，故可設(shè)方程為x²+（y-b）²=r²，b＞0，r＞0
由條件知 （-1-b）²=r²（1）
∵圓與圓（x-4）²+（y-4）²=9外切，∴兩個(gè)圓心間的距離等于兩個(gè)半徑之和，
∴（0-4）²+（b-4）²=（r+3）²（2）
由（1）（2）解得b=1，r=2
從而圓C的方程為x²+（y-1）²=4；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，即kx-y+2=0
∵C與l的距離d=

1

k2+1

，∴以AB為直徑的圓半徑R=

4-d2

=

4k2+3 k2+1

∵原點(diǎn)O在以AB為直徑的圓內(nèi)，原點(diǎn)與l的距離d'=

2

k2+1

∴d'＜R，即

2

k2+1

＜

4k2+3 k2+1

∴k＜-

1

2

或k＞

1

2

．
斜率不存在時(shí)也成立
∴直線l的傾斜角α的取值范圍為（arctan

1

2

，π-arctan

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．