Question

已知橢圓x²＋＝1的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B.雙曲線C的方程為x²－＝1. 設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在雙曲線C上，直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T.

(Ⅰ)設(shè)P, T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，證明x₁· x₂＝1；

(Ⅱ)設(shè)△TAB與△POB(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積分別為S₁與S₂ ，且·≤15，求S－S的取值范圍．

Answer 1

【解析】(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)P，T，

直線AP的斜率為k(k>0)，則直線AP的方程為y＝k(x＋1)，

聯(lián)立方程組，整理得(4＋k²)x²＋2k²x＋k²－4＝0，

解得x＝－1或x＝，故x₂＝.

同理可得x₁＝.所以x₁·x₂＝1.

(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P(x₁，y₁)，T(x₂，y₂)，

則＝(－1－x₁，－y₁)，＝(1－x₁，－y₁)．

因?yàn)?sub>·≤15，所以(－1－x₁)(1－x₁)＋y≤15，

即x＋y≤16.

因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上，則x－＝1，

所以x＋4x－4≤16，即x≤4.

因?yàn)辄c(diǎn)P是雙曲線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，則1<x₁≤2.

因?yàn)?i>S₁＝＝，S₂＝＝，

所以S－S＝y－y＝(4－4x)－(x－1)＝5－x－4x.

由(Ⅰ)知，x₁· x₂＝1，即x₂＝.

設(shè)t＝x，則1<t≤4，

S－S＝5－t－.

設(shè)f(t)＝5－t－，則f′(t)＝－1＋＝，

當(dāng)1<t<2時(shí)，f′(t)>0，當(dāng)2<t≤4時(shí)，f′(t)<0，

所以函數(shù)f(t)在(1，2)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因?yàn)?i>f(2)＝1，f(1)＝f(4)＝0，

所以當(dāng)t＝4，即x₁＝2時(shí)，(S－S)_min＝f(4)＝0；

當(dāng)t＝2，即x₁＝時(shí)，(S－S)_max＝f(2)＝1，

所以S－S的取值范圍為.