Question

5．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₂（3x+1）．
（1）求出使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[1，+∞）時(shí)，求函數(shù)y=g（x）+f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即基本運(yùn)算法則求解不等式即可．
（2）利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解值域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₂（3x+1）．
∵g（x）≥f（x），即log₂（x+1）≤log₂（3x+1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+1＞0}\\{3x+1＞0}\\{x+1≤3x+1}\end{array}\right.$
解得：x≥0，
∴即使g（x）≥f（x）成立的x的取值范圍為[0，+∞）．
（2）函數(shù)y=g（x）+f（x），即y=g（x）+f（x）
=log₂（3x+1）+log₂（x+1）
=log₂（3x²+4x+1）（x≥1）
令h（x）=（3x²+4x+1），
則h（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（x）≥8．
故y=g（x）+f（x）∈[3，+∞），
即函數(shù)y=g（x）+f（x）的值域?yàn)閇3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)用和復(fù)合函數(shù)的值域的求法．屬于中檔題．