Question

f（x）是定義在（-1，1）上的函數(shù)，對于?x，y∈（-1，1）有f（x）-f（y）=f(

x-y

1-xy

)成立，且當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0，給出下列命題：
①f（0）=0；  
②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；  
③函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)；  
④f（

1

2

）+f（

1

3

）＜f（

1

4

），
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：①，令x=y=0，即可求得f（0）=0；
②先令y=-x得f（x）-f（-x）=f（

2x

1+x2

）（1），再以-x代x，y=x得：f（-x）-f（x）=f（

-2x

1+x2

）（2），二者聯(lián)立，即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
③由①中f（0）=0，②函數(shù)f（x）為定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，及已知“當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0”即可判斷③之正誤；
④依題意，作差f（

1

3

）-f（

1

2

）=f（-

1

5

）＞0，可知f（

1

3

）＞f（

1

2

），同理可知f（

1

4

）＞f（

1

3

），于是可知④之正誤．

解答：解：對于①，∵對于?x，y∈（-1，1）有f（x）-f（y）=f(

x-y

1-xy

)成立，
∴令x=y=0，得f（0）-f（0）=f（0）=0，故①正確；
對于②，令y=-x得：f（x）-f（-x）=f（

2x

1+x2

）（1），
再以-x代x，y=x得：f（-x）-f（x）=f（

-2x

1+x2

）（2），
（1）+（2）得：f（

2x

1+x2

）+f（

-2x

1+x2

）=0，
∴f（

-2x

1+x2

）=-f（

2x

1+x2

），
∴定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故②錯(cuò)誤；
對于③，∵函數(shù)f（x）為定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f（x）＜0，又f（0）=0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上只有一個(gè)零點(diǎn)，故③正確； 
對于④，∵當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f（x）＞0，
∴f（

1

3

）-f（

1

2

）=f（

1 3 - 1 2

1- 1 3 × 1 2

）=f（-

1

5

）＞0，
∴f（

1

3

）＞f（

1

2

）；
同理可得，f（

1

4

）＞f（

1

3

），
∴f（

1

2

）+f（

1

3

）＜f（

1

4

），即④正確；
綜上所述，正確命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)，
故選：C．

點(diǎn)評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查賦值法的應(yīng)用，判斷函數(shù)f（x）的奇偶性是難點(diǎn)，也是解決問題的關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與創(chuàng)新思維能力，屬于難題．