Question

定義在上的函數(shù)，對(duì)于任意的m，n∈(0,＋∞)，都有成立，當(dāng)x＞1時(shí)，．
(1)求證：1是函數(shù)的零點(diǎn)；
(2)求證：是(0,＋∞)上的減函數(shù)；
(3)當(dāng)時(shí)，解不等式．

Answer 1

（3）當(dāng)a＝0時(shí),解集為；當(dāng)a＞0時(shí),解集為；
當(dāng)a＜0時(shí),解集為..

（1）賦值法，求得；（2）注意構(gòu)造；
（3）由等價(jià)于，分類討論.
解：(1)對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)m，n都有成立，
所以令m＝n＝1，則．
∴，即1是函數(shù)f(x)的零點(diǎn)．                                   (3分)
(2)設(shè)0＜x₁＜x₂，則由于對(duì)任意正數(shù)，
所以，即
又當(dāng)x＞1時(shí)，，而．所以.
從而，因此在(0，＋∞)上是減函數(shù)．                  (7分)
(3)根據(jù)條件有，
所以等價(jià)于．
再由是定義在(0，＋∞)上的減函數(shù)，所以0＜ax＋4＜4．即. (9分)
當(dāng)a＝0時(shí),－4＜0<0不成立，此時(shí)不等式的解集為；　　　　　　　　　(10分)
當(dāng)a＞0時(shí),－4＜ax＜0，即，此時(shí)不等式的解集為；
當(dāng)a＜0時(shí),－4＜ax＜0，即，此時(shí)不等式的解集為.(12分)