Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）對任意x，y∈R均有：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（x）不恒為零．則下列結(jié)論正確的是

 

①f（0）=0
②f（0）=1
③f（0）=0或f（0）=1
④函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
⑤若存在實數(shù)a≠0使f（a）=0，則f（x）為周期函數(shù)且2a為其一個周期．

Answer 1

考點：函數(shù)的周期性,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（x）不恒為零，可解出f（0）=1，故可判斷①②③④；代入f（a）=0求函數(shù)的周期即可．

解答： 解：由f（x）不恒為零，若f（0）=0，則f（x）+f（x）=0，故①錯誤；
令x=y=0，則f（0）+f（0）=2f（0）•f（0），
解得，f（0）=1，②正確；
由以上知，③錯誤；
令x=0，則f（y）+f（-y）=2f（y），
即f（-y）=f（y），又∵定義域為R；
故④正確；
由題意，f（x+a）+f（x-a）=0，
則f（x+a）=-f（x-a）=f（x-3a），
故4a是其一個周期；
故⑤不正確；
故答案為：②④．

點評：本題考查了抽象函數(shù)的函數(shù)值及周期性判斷，屬于中檔題．