Question

如圖，平面ABC⊥平面DBC，已知AB=AC，BC=6，∠BAC=∠DBC=90°，∠BDC=60° 
（1）求證：平面ABD⊥平面ACD；
（2）求二面角A-CD-B的平面角的余弦值；
（3）記經(jīng)過直線AD且與BC平行的平面為α，求點(diǎn)B到平面α的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出CA⊥AB，BD⊥平面ABC，從而得到CA⊥BD，進(jìn)而得到CA⊥平面ABD，由此能證明平面ABD⊥平面ACD．
（2）取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，以O(shè)為原點(diǎn)，過O平行于BD的直線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-CD-B的余弦值．
（3）求出平面α的法向量，利用向量法能求出點(diǎn)B到平面α的距離．

解答： （本題滿分15分）
（1）證明：∵平面ABC⊥平面DBC，∠BAC=∠DBC=90°，
∴CA⊥AB，BD⊥平面ABC，
∵CA?面ABC，∴CA⊥BD，（3分）
∴CA⊥平面ABD，
∵CA?平面ACD，平面ABD⊥平面ACD．（5分）
（2）解：取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO，
∵AB=AC，∴AO⊥BC，∵平面ABC⊥平面DBC，∴AO⊥平面BDC，
以O(shè)為原點(diǎn)，過O平行于BD的直線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
∵BC=6，∠BAC=∠DBC=90°，∠BDC=60°，
∴OA=OB=OC=3，BD=2

3

，
∴C（0，-3，0），D（2

3

，3，0），A（0，0，3），
∴

AC

=(0，-3，-3)，

AD

=(2

3

，3，-3)，
設(shè)平面ACD的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AC =-3y-3z=0 n • AD =2 3 x+3y-3z=0

，取y=

3

，得

n

=（-3，

3

，-

3

），（8分），
由題意知平面BCD的法向量

m

=(0，0，1)，（9分），
∴cos＜

n

，

m

＞=

- 3

9+3+3

=-

5

5

，
∴二面角A-CD-B的平面角的余弦值是

5

5

．（10分）
（3）解：∵C（0，-3，0），B（0，3，0），A（0，0，3），D（2

3

，3，0），
∴

CB

=(0，6，0)，

AD

=(2

3

，3，-3)，

AB

=(0，3，-3)．
設(shè)平面α的法向量

p

=(a，b，c)，
則

p • CB =6b=0 p • AD =2 3 a+3b-3c=0

，取a=

3

，得

p

=(

3

，0，2)，（13分），
∴點(diǎn)B到平面α的距離d=

| p • AB |

| p |

=

|-6|

7

=

6 7

7

．（15分）

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．