Question

把一根直徑為d的圓木加工成橫截面為矩形的橫梁，橫梁的強(qiáng)度y與橫梁截面寬度的一次方及高度的二次方的積成正比；當(dāng)圓木加工成截面為正方形的橫梁時(shí)，其強(qiáng)度為9(強(qiáng)度單位)，問如何加工才能使橫梁有最大強(qiáng)度?最大的強(qiáng)度為多少?(強(qiáng)度單位)

Answer 1

解法一：設(shè)橫粱截面的寬為x，高為A，則x²+h²=d²

依題意設(shè)：y=kxh²

又x=h=d時(shí)，y=9．∴k=

∴y=f(x)=x(d²-x²)(0＜x＜d)

又y′==(d²-3x²)

令y′=0得：x=d

因f(x)只有一個(gè)極值，所以它是最大值，即當(dāng)橫梁寬為d，高為d時(shí)，橫梁有最大強(qiáng)度，最大強(qiáng)度為8(強(qiáng)度單位) 

解法二：y²=x²(d²-x²)²

=·2x²(d²-x²)(d²-x²)

≤

=8²×3

當(dāng)且僅當(dāng)2x²=d²-x²，即x=d時(shí)， y²_max=8²×3，

∴y_max=8(強(qiáng)度單位).