Question

把一根直徑為d的圓木加工成橫截面為矩形的橫梁，橫梁的強(qiáng)度y與橫梁截面寬度的一次方及高度的二次方的積成正比；當(dāng)圓木加工成截面為正方形的橫梁時(shí)，其強(qiáng)度為9(強(qiáng)度單位)，問如何加工才能使橫梁有最大強(qiáng)度?最大的強(qiáng)度為多少?(強(qiáng)度單位)

Answer 1

解法一：設(shè)橫梁的寬為x，高為h，則x²+h²=d²

依題意設(shè)：y=kxh²

又x=h=時(shí)，y=，∴k= 

∴y=f(x)= (d²-x²)(0＜x＜d)

又y′=(d²-3x²)

令y′=0得；x= 

因f(x)只有—個極值，所以它是最大值，即當(dāng)橫梁寬為，高為時(shí)，橫粱有最大強(qiáng)度，最大強(qiáng)度為(強(qiáng)度單位) 

解法二：y²=(d²-x²)² 

=·2x²(d²-x²)(d²-x²)

≤

=8²×3 

當(dāng)且僅當(dāng)2x²=d²-x²,即x=，=8²×3，

∴y_max=(強(qiáng)度單位).