【題目】已知數(shù)列的前項和為，.

（1）若，求證：，，必可以被分為1組或2組，使得每組所有數(shù)的和小于1；

（2）若，求證：， …，，必可以被分為組，使得每組所有數(shù)的和小于1.

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）先將最大的一個數(shù)一組，另兩個一組，利用反證法證明這兩個較小的數(shù)的和小于1；

（2）先將其中介于和1之間的單獨分一組，再把小于的數(shù)進行拼湊成若干組，保證每組都介于和1之間，最后剩余的分成一組，再分析介于和1之間組數(shù)小于等于k即可.

解：（1）不妨設

假設，則

所以

所以與矛盾，因此,

所以必可分成兩組、使得每組所有數(shù)的和小于1

（2）不妨設，

先將，，…，單獨分為一組，再對后面項依次合并分組，使得每組和屬于，最后一組和屬于，不妨設將，，…，分為，，…，，，共組，且其中組，，…，，，最后一組

首先必小于等于，否則，與，矛盾

當時，則

所以只需將，，…，分為，，…，，，即可滿足條件；

當時，可將與合成一組，且，否則，矛盾

此時只需將，，…，分為，，…，，，即可滿足條件，

所以，，…，必可以被分為m組(1≤m≤k)，使得每組所有數(shù)的和小于1．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】汕頭某家電企業(yè)要將剛剛生產(chǎn)的100臺變頻空調(diào)送往市內(nèi)某商場，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供調(diào)配，每輛甲型貨車的運輸費用是400元，可裝空調(diào)20臺，每輛乙型貨車的運輸費用是300元，可裝空調(diào)10臺，若每輛車至多運一次，則企業(yè)所花的最少運費為（ ）

A. 2000元B. 2200元C. 2400元D. 2800元

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲飲料銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的散點圖和對比表：

攝氏溫度

熱飲杯數(shù)

（1）從散點圖可以發(fā)現(xiàn)，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里。因此，氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)之間成負相關，即氣溫越高，當天賣出去的熱飲杯數(shù)越少。統(tǒng)計中常用相關系數(shù)來衡量兩個變量之間線性關系的強弱.統(tǒng)計學認為，對于變量、，如果，那么負相關很強；如果，那么正相關很強；如果，那么相關性一般；如果，那么相關性較弱。請根據(jù)已知數(shù)據(jù)，判斷氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)相關性的強弱.

（2）（i）請根據(jù)已知數(shù)據(jù)求出氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)的線性回歸方程；

（ii）記為不超過的最大整數(shù)，如，.對于（i）中求出的線性回歸方程，將視為氣溫與當天熱飲銷售杯數(shù)的函數(shù)關系.已知氣溫與當天熱飲每杯的銷售利潤的關系是 （單位：元），請問當氣溫為多少時，當天的熱飲銷售利潤總額最大？

（參考公式），，

（參考數(shù)據(jù)），， .

，，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若無窮數(shù)列滿足：，當'，時， （其中表示，，…，中的最大項），有以下結論：

① 若數(shù)列是常數(shù)列，則；

② 若數(shù)列是公差的等差數(shù)列，則；

③ 若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則：

④ 若存在正整數(shù)，對任意，都有，則，是數(shù)列的最大項.

其中正確結論的序號是____（寫出所有正確結論的序號）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知等腰梯形，.現(xiàn)將沿著折起，使得面面，點F為線段BC上一動點.

（1）證明：；

（2）如果F為BC中點，證明：面；

（3）若二面角的余弦值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，在三棱錐P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中點，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，則異面直線PC，AD所成角的余弦值為

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，圓O：，，，D為圓O上任意一點，過D作圓O的切線分別交直線和于E，F兩點，連AF，BE交于點G，若點G形成的軌跡為曲線C．

記AF，BE斜率分別為，，求的值并求曲線C的方程；

設直線l：與曲線C有兩個不同的交點P，Q，與直線交于點S，與直線交于點T，求的面積與面積的比值的最大值及取得最大值時m的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】國家環(huán)境標準制定的空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應關系如表：

空氣質(zhì)量指數(shù)

0～50

51～100

101～150

151～200

201～300

300以上

空氣質(zhì)量等級

1級優(yōu)

2級良

3級輕

度污染

4級中度污染

5級重

度污染

6級嚴重污染

由全國重點城市環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)獲得10月份某五天甲城市和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)用莖葉圖表示如圖：

（1）試根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，計算甲、乙兩個城市的空氣質(zhì)量指數(shù)的方差；

（2）試根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，估計甲城市某一天空氣質(zhì)量等級為2級良的概率；

（3）分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，試求兩個城市空氣質(zhì)量等級相同的概率．供參考數(shù)據(jù)：292+532+572+752+1062=23760，432+412+552+582+782=16003

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當，函數(shù)，證明：存在唯一的極大值點，且.

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