Question

已知a∈R，求函數(shù)y=（a-sinx）（a-cosx）得最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：令t=sinx+cosx，得到t∈[-

2

，

2

]，y=

t2-1

2

+at+a²=

1

2

[（t+a）²+a²-1]，根據(jù)關(guān)于t的二次函數(shù)的圖象的對稱軸方程為t=-a，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論求得函數(shù)的最小值．

解答： 解：f（x）=（sinx+a）（cosx+a）=sinxcosx+a（sinx+cosx）+a²．
令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），則 sinxcosx=

t2-1

2

，t∈[-

2

，

2

]．
∴y=

t2-1

2

+at+a²=

1

2

[（t+a）²+a²-1]，函數(shù)的圖象的對稱軸方程為t=-a，
當(dāng)-a＜-

2

，即a＞

2

時，關(guān)于t的函數(shù)y在[-

2

，

2

]上是增函數(shù)，當(dāng)t=-

2

時，函數(shù)取得最小值為

1

2

[(-

2

+a)2+a²-1]=a²-

2

a+

1

2

．
當(dāng)-a∈[-

2

，

2

]時，即-

2

≤a≤

2

時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)t=-a時，函數(shù)取得最小值為

a2-1

2

．
當(dāng)-a＞

2

時，即a＜-

2

時，關(guān)于t的函數(shù)y在[-

2

，

2

]上是減函數(shù)，當(dāng)t=

2

時，函數(shù)取得最小值為

1

2

[(

2

+a)2+a²-1]=a²+

2

a+

1

2

．

點評：本題考查了與三角函數(shù)有關(guān)的函數(shù)最值的求法，考查了換元法，訓(xùn)練了利用分類討論的方法求二次函數(shù)的最值，是中檔題．