【題目】已知橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為,短軸長(zhǎng)為,直線與橢圓C交于M、N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線與圓相切,證明:為定值

【答案】(1)(2)詳見解析

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的有關(guān)知識(shí)可得,從而可得橢圓的方程;

2)分直線的斜率存在與否兩種情況求解.①當(dāng)的斜率不存在時(shí),其方程為,可得、的坐標(biāo),由向量的數(shù)量積可得;②當(dāng)的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為,由直線與圓相切得.然后將直線方程與橢圓方程聯(lián)立、消元,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系由數(shù)量積可得,從而可得.綜上可得為定值.

1)由題意得,

∴橢圓的方程為

2)①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),因?yàn)橹本與圓相切,所以直線方程為

當(dāng)時(shí),可得M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為,

.

當(dāng)時(shí),同理可得;

②當(dāng)的斜率存在時(shí),設(shè),

由題意得,,

,消去整理得

∵直線與圓相交,∴

設(shè),則,,

,

.

綜上(定值) .

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,已知橢圓,若圓的一條切線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),且.

1)求圓的方程;

2)已知橢圓的上頂點(diǎn)為,點(diǎn)在圓上,直線與橢圓相交于另一點(diǎn),且,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱柱的底面是正三角形,底面,M的中點(diǎn).

1)求證:平面;

2)若,且沿側(cè)棱展開三棱柱的側(cè)面,得到的側(cè)面展開圖的對(duì)角線長(zhǎng)為,求作點(diǎn)在平面內(nèi)的射影H,請(qǐng)說明作法和理由,并求線段AH的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】)恰有1個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為(

A.B.C. D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】世紀(jì)中葉,中國數(shù)學(xué)家賈憲給出了直到六次冪的二項(xiàng)式系數(shù)表,如圖所示是《楊輝詳解九章算法》開方作法本原,其中第層即為展開式的系數(shù).賈憲稱整張數(shù)表為開放作法本原,今稱賈憲三角但賈憲未給出二項(xiàng)式系數(shù)的一般公式,因而未能建立一般正整數(shù)次冪的二項(xiàng)式定理.賈憲的數(shù)學(xué)著作已失傳,世紀(jì)數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中引用了開放作法本原圖,注明此圖出《釋鎖算數(shù)》,賈憲用此術(shù),因而流傳至今.只是后人往往因此把它誤稱為楊輝三角展開式中的系數(shù)為,①則實(shí)數(shù)的值為_______________,②展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為__________________

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),若以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.

1)求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程;

2)若是曲線上的任意一點(diǎn),是曲線上的任意一點(diǎn),求線段的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.為曲線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)在射線上,且滿足.

(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程;

(Ⅱ)設(shè)軸交于點(diǎn),過點(diǎn)且傾斜角為的直線相交于兩點(diǎn),求的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生的數(shù)學(xué)與語文的水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表:

數(shù)學(xué)(x

人數(shù)

語文(y

90~100

(數(shù)A

80~90

(數(shù)B

60~80

(數(shù)C

90~100

(語A

20

7

5

80~90

(語B

18

9

6

60~80

(語C

4

a

b

設(shè)xy分別表示數(shù)學(xué)成績(jī)與語文成績(jī),若抽取學(xué)生n人,成績(jī)?cè)?/span>90~100分者記為A等級(jí)(優(yōu)秀),成績(jī)?cè)?/span>80~90分者記為B等級(jí)(良好),成績(jī)?cè)?/span>60~80分者記為C等級(jí)(及格).例如:表中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>A等級(jí)的共有.已知xy均為B等級(jí)的概率是0.09.

1)若在該樣本中,數(shù)學(xué)成績(jī)良好率是30%,求a,b的值;

2)在語文成績(jī)?yōu)?/span>C等級(jí)的學(xué)生中,已知,,求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?/span>B等級(jí)的人數(shù)比C等級(jí)的人數(shù)少的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】現(xiàn)在給出三個(gè)條件:①a2;②B;③cb.試從中選出兩個(gè)條件,補(bǔ)充在下面的問題中,使其能夠確定△ABC,并以此為依據(jù),求△ABC的面積.

在△ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,且滿足,求△ABC的面積(選出一種可行的方案解答,若選出多個(gè)方案分別解答,則按第一個(gè)解答記分)

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