Question

10．已知二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3
（1）當(dāng)q=1時(shí)，求f（x）在[-1，9]上的值域；
（2）問(wèn)：是否存在常數(shù)q（0＜q＜10），使得當(dāng)x∈[q，10]時(shí)，f（x）的最小值為-51？若存在，求出q的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）計(jì)算f（x）的對(duì)稱軸，判斷f（x）的單調(diào)性，從而求出f（x）的值域；
（2）對(duì)q進(jìn)行討論判斷f（x）在[q，10]上的單調(diào)性，令f_min（x）=-51解出q．

解答 解：（1）q=1時(shí)，f（x）=x²-16x+4=（x-8）²-60．
∴f（x）在區(qū)間[-1，8]上遞減，在區(qū)間[8，9]上遞增，
∴f（x）_max=f（-1）=21，f（x）_min=f（8）=-60，
∴f（x）在[-1，9]上的值域?yàn)閇-60，21]．
（2）假設(shè)存在常數(shù)q（0＜q＜10），使得當(dāng)x∈[q，10]時(shí)，f（x）的最小值為-51，
∵f（x）=x²-16x+q+3=（x-8）²+q-61，x∈[q，10]
∴當(dāng)0＜q＜8時(shí)，f（x）_min=f（8）=q-61=-51，∴q=10（舍）．
當(dāng)q≥8時(shí)，f（x）在區(qū)間[q，10]上單調(diào)遞增，$f{（x）_{min}}={q^2}-15q+3=-51$，
解得q=6（舍）或q=9，
故存在常數(shù)q=9，使得當(dāng)x∈[q，10]時(shí)，f（x）的最小值為-51．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性，分類討論思想，屬于中檔題．