Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax（a∈R），
（1）當a=2時，求y=f（x）在點x=1的切線方程；
（2）若直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，求a的取值范圍；
（3）設(shè)g（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求g（x）的最大值F（a）的解析式．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當a=2，f（x）=x³-6x，f′（x）=3x²-6，求出切線的斜率k=f′（1）=-3，進而求出y=f（x）在點x=1的切線方程即可；
（2）法1：f′（x）=3x²-3a，直線x+y+m=0即y=-x+m，依題意，切線斜率k=f′（x）=3x²-3a≠-1，即3x²-3a+1=0無解，根據(jù)△＜0，求出a的取值范圍即可；
法2：f′（x）=3x²-3a≥-3a，要使直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，當且僅當-1＜-3a時成立，求出a的取值范圍即可；
（3）因為g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故只要求在[0，1]上的最大值；然后分兩種情況：①當a≤0時和②當a＞0時，討論求出g（x）的最大值F（a）的解析式即可．

解答： 解：（1）當a=2，f（x）=x³-6x，f′（x）=3x²-6，
∴k=f′（1）=-3，
∴y=f（x）在點x=1處的切線方程為y-（-5）=-3（x-1），
即3x+y+2=0；
（2）法1：f′（x）=3x²-3a，直線x+y+m=0即y=-x+m，
依題意，切線斜率k=f′（x）=3x²-3a≠-1，即3x²-3a+1=0無解，
∴△=0-4×3（-3a+1）＜0，
∴a＜

1

3

；
法2：f′（x）=3x²-3a≥-3a，
要使直線x+y+m=0對任意的m∈R都不是曲線y=f（x）的切線，
當且僅當-1＜-3a時成立，
∴a＜

1

3

；
（3）因為g（x）=|f（x）|=|x³-3ax|在[-1，1]上是偶函數(shù)，故只要求在[0，1]上的最大值；
①當a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增且f（0）=0，
∴g（x）=f（x），
F（a）=f（1）=1-3a；
②當a＞0時，f′（x）=3x²-3a=3(x+

a

)(x-

a

)，
（�。┊�

a

≥1，即a≥1，
g（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
此時F（a）=-f（1）=3a-1；
（ⅱ）當0＜

a

＜1，即0＜a＜1時，
f（x）在[0，

a

]上單調(diào)遞減，在[

a

，1]單調(diào)遞增；
1°當f（1）=1-3a≤0，即

1

3

≤a＜1時，
g（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，

a

]上單調(diào)遞增，在[

a

，1]單調(diào)遞減，
F（a）=-f（

a

）=2a

a

；
2°當f（1）=1-3a＞0，即0＜a＜

1

3

，
（�。┊�-f（

a

）≤f（1）=1-3a，即0＜a≤

1

4

時，F(xiàn)（a）=f（1）=1-3a，
（ⅱ）當-f（

a

）＞f（1）=1-3a，即

1

4

＜a＜

1

3

時，F(xiàn)（a）=-f（

a

）=2a

a

，
綜上，可得F（x）=

1-3a，(a≤ 1 4 ) 2a a ，( 1 4 ＜a＜1) 3a-1，(a≥1)

．

點評：此題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題．