Question

已知函數(shù)f（x）=x²+lnx．
（1）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；
（2）求證：當(dāng)x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）的圖象在g（x）=

2

3

x³+

1

2

x²的下方．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=2x+

1

x

．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²-

2

3

x³+ln x，則F′（x）=

(1-x)(2x2+x+1)

x

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象的下方．

解答： （1）解：∵f（x）=x²+ln x，∴f′（x）=2x+

1

x

．
∵x＞1時，f′（x）＞0，故f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，
∴f（x）的最小值是f（1）=1，最大值是f（e）=1+e²．
（2）證明：令F（x）=f（x）-g（x）=

1

2

x²-

2

3

x³+ln x，
則F′（x）=x-2x²+

1

x

=

x2-2x3+1

x

=

x2-x3-x3+1

x

=

(1-x)(2x2+x+1)

x

．
∵x＞1，∴F′（x）＜0，
∴F（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)．
∴F（x）＜F（1）=

1

2

-

3

2

=-

1

6

＜0，即f（x）＜g（x）．
∴當(dāng)x∈（1，+∞）時，函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象的下方．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的最值的求法，考查函數(shù)f（x）的圖象總在g（x）的圖象的下方的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．