Question

已知函數（為常數）的圖象與軸交于點，曲線在點處的切線斜率為.

（Ⅰ）求的值及函數的極值；

（Ⅱ）證明：當時，；

（Ⅲ）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當，恒有.

 

Answer 1

（Ⅰ），極小值為無極大值；（Ⅱ）詳見解析；

（Ⅲ）詳見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由，得.再根據曲線在點處的切線斜率為，便可得從而得.代入解析式得.由此根據導數的符號即可得函數的極值；（Ⅱ）令.為了證，只需證，而這利用導數很易證明；

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當時, .所以當時必有時, .取即可.若,為了使問題簡化，作以下轉化：令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要，即成立.令，這樣轉化后，這個函數的導數就很簡單了，利用導數可找到，使得當，恒有.

試題解析：解:（Ⅰ）由，得.

又,得.

所以.

令,得.當時, 單調遞減;當時, 單調遞增. 所以當時, 取得極小值,且極小值為無極大值.

（Ⅱ）令,則.

由（Ⅰ）得,

故在R上單調遞增,又,

因此,當時, ,即.

（Ⅲ）①若,則.又由（Ⅱ）知，當時, .

所以當時, .取,當時，恒有.

②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，則只要,只要成立.

令,則.

所以當時, 在內單調遞增.

取,所以在內單調遞增.

又.

易知.所以.即存在,當時，恒有.

綜上，對任意給定的正數c，總存在,當時,恒有. .....14分

解法二：（Ⅰ）同解法一（Ⅱ）同解法一（Ⅲ）對任意給定的正數c，取

由（Ⅱ）知，當x>0時，，所以，當時，

因此，對任意給定的正數，總存在,當時,恒有.

考點：1、導數的應用；2、導數與不等式.