Question

某廠生產(chǎn)化工原料，當(dāng)年產(chǎn)量在150噸到250噸時(shí)，年生產(chǎn)總成本y（萬元）與年產(chǎn)量x（噸）之間的關(guān)系可近似表示為y=

x2

10

-30x+4000．
（1）為使每噸平均成本最低，年產(chǎn)量指標(biāo)應(yīng)定在多少噸？（注：平均成本=

年生產(chǎn)總成本

年產(chǎn)量

）
（2）若出廠價(jià)為每噸16萬元，為獲得最大的利潤，年產(chǎn)量指標(biāo)應(yīng)定在多少噸，并求出最大利潤．

Answer 1

分析：（1）依題意，每噸平均成本為

y

x

（萬元），從而可得函數(shù)，再利用基本不等式求解；（2）設(shè)年獲得的總利潤為Q（萬元），構(gòu)建函數(shù)，再利用配方法求最值．

解答：解：（1）依題意，每噸平均成本為

y

x

（萬元），
則

y

x

=

x

10

+

4000

x

-30≥2

x 10 • 4000 x

 30=10
當(dāng)且僅當(dāng)

x

10

=

4000

x

，即x=200時(shí)取等號，又150＜200＜250，
所以年產(chǎn)量為200噸時(shí)，每噸平均成本最低為10萬元．
（2）設(shè)年獲得的總利潤為Q（萬元），
則Q=16x-y=16x-

x2

10

+30x-4000=-

x2

10

+46x-4000=-

1

10

(x-230)2+1290又150＜230＜250，所以年產(chǎn)量為230噸時(shí)，可獲最大年利潤為1290萬噸．

點(diǎn)評：本題重在考查函數(shù)的構(gòu)建，考查運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求最值常用配方法或公式法．