Question

質(zhì)地均勻的正四面體玩具的四個面上涂有1，2，3，4四個數(shù)字，現(xiàn)將兩個這樣的玩具同時隨機(jī)地拋擲于桌面上，設(shè)與桌面接觸的兩個面的數(shù)字分別為a₁，a₂，記X=|a₁-3|+|a₂-3|．
（Ⅰ）求X的最大值及取最大值的概率；
（Ⅱ）求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點：離散型隨機(jī)變量及其分布列,離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）擲出點數(shù)a可能是：1，2，3，4，則a-3分別是-2，-1，0，1，由此|a-3|的所有取值分別為0，1，2，3，4，由此能求出X的最大值及取最大值的概率．
（Ⅱ）由已知得X的所有取值為0，1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答： 解：（Ⅰ）擲出點數(shù)a可能是：1，2，3，4，則a-3分別是-2，-1，0，1，
∴|a-3|的所有取值分別為0，1，2，3，4，
當(dāng)a₁=a₂=1時，X=|a₁-3|+|a₂-3|取得最大值4，
此時，P（X=4）=

1

4

×

1

4

=

1

16

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，X的所有取值為0，1，2，3，4，
P（X=4）=P（X=0）=

1

16

，
P（X=1）=

4

16

，
P（X=2）=

6

16

，
P（X=3）=

4

16

，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3	4
P	1 16	4 16	6 16	4 16	1 16

∴EX=0×

1

16

+1×

4

16

+2×

6

16

+3×

4

16

+4×

1

16

=2．

點評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．