Question

列三角形數(shù)表

假設(shè)第n行的第二個(gè)數(shù)為a_n（n≥2，n∈N^*）
（1）依次寫出第六行的所有數(shù)字；
（2）歸納出a_n+1與a_n的關(guān)系式并求出a_n的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)a_nb_n=1求證：b₂+b₃+…+b_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,歸納推理

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)三角形數(shù)表，兩側(cè)數(shù)為從1開始的自然數(shù)列，中間的數(shù)從第三行起，每一個(gè)數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和的規(guī)律寫出來(lái)．
（2）依據(jù)“中間的數(shù)從第三行起，每一個(gè)數(shù)等于它兩肩上的數(shù)之和”則第二個(gè)數(shù)等于上一行第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．
（3）根據(jù)（2）求出b_n的表達(dá)式，然后再證明不等式即可．

解答： 解：（1）第六行的所有6個(gè)數(shù)字分別
是7，21，35，35，21，7；…（2分）
（2）依題意a_n+1=a_n+n+1（n≥2），
依題意a_n+1=a_n+n+1（n≥2），a₂=2…（4分）a_n-a_n-1=n（n≥3），
a_n=a₂+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+…+（a_n-a_n-1）…（6分）
=3+

(3+n)(n-2)

2

=

n(n+1)

2

(n≥2)，
（3）由a_nb_n=1得bn=

1

an

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
∴b₂+b₃+…+b_n=2（

1

2

-

1

3

）+2（

1

3

-

1

4

）+…+2（

1

n

-

1

n+1

）=2（

1

2

-

1

n+1

）=1-

2

n+1

，
∵n≥1，
∴

2

n+1

＞0
∴b₂+b₃+…+b_n=1-

2

n+1

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)三角數(shù)表構(gòu)造了一系列數(shù)列，考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和的方法、程序框圖，還考查了數(shù)列間的關(guān)系，入題較難，知識(shí)點(diǎn)，方法活，屬中檔題．