Question

設(shè)x、y滿足約束條件

x-2y≥-2 3x-2y≤3 x+y≥1

，若x+2y≤a能成立，則a的取值范圍為（　　）

• A、（-∞，1]
• B、[1，+∞）
• C、（-∞，7]
• D、[7，+∞）

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出直線x-2y=-2，3x-2y=3，x+y=1，標(biāo)出原不等式組表示的平面區(qū)域．設(shè)z=x+2y，要使x+2y≤a能成立，即關(guān)于x，y的此不等式有解，只需a≥z_min，問題轉(zhuǎn)化為求解二元函數(shù)z=x+2y的最小值問題，而y=-

1

2

x+

z

2

可看作斜率為-

1

2

，縱截距為

z

2

的直線系，只需探究

z

2

最小時的情形即可．

解答： 解：在同一坐標(biāo)系中，分別作出直線x-2y=-2，3x-2y=3，x+y=1，
從而得到不等式組

x-2y≥-2 3x-2y≤3 x+y≥1

表示的平面區(qū)域，如右圖所示．
令z=x+2y，即y=-

1

2

x+

z

2

，此方程表示斜率為-

1

2

，縱截距為

z

2

的一系列平行直線，
∵x+2y≤a能成立，即關(guān)于x，y的不等式有解，∴a≥（x+2y）_min，
由圖易知，當(dāng)直線y=-

1

2

x+

z

2

經(jīng)過點(diǎn)P時，z最小，
此時

3x-2y=3 x+y=1

，得

x=1 y=0

，即P（1，0），從而z_min=（x+2y）_min=1+2×0=1，
∴a≥1，即a的取值范圍是[1，+∞）．
故選B．

點(diǎn)評：本題以不等式有解問題為切入點(diǎn)，考查了利用線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值，屬于含參數(shù)的線性規(guī)劃問題，關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)的最值轉(zhuǎn)化為截距的最值問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想與化歸的思想．