等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差d=-1,前n項(xiàng)和為Sn,其中a1∈{-1,1,2}
(I )若存在n∈N,使Sn=-5成立,求a1的值;.
(II)是否存在a1,使Sn<an對(duì)任意大于1的正整數(shù)n均成立?若存在,求出a1的值;否則,說(shuō)明理由.
分析:(I )由條件得
Sn=-n2+(a1+)n=-5,整理得:n
2-(2a
1+1)n-10=0,由于n∈N,所以其判別式必定是完全平方數(shù),又a
1∈{-1,1,2},一一代入驗(yàn)證即可.
(II)由S
n<a
n,代入得
-n2+(a1+)n<a1+1-n,化簡(jiǎn)即可得.
解答:解:(I )由條件得
Sn=-n2+(a1+)n=-5,整理得:n
2-(2a
1+1)n-10=0,
∴△=(2a
1+1)
2+40是完全平方數(shù),∵a
1∈{-1,1,2},
∴a
1=1,此時(shí)n=5
(II)由S
n<a
n,代入得
-n2+(a1+)n<a1+1-n,∴
(n-1)a1<(n-1)(n-2),∵n>1,∴
a1<(n-2),∴a
1<0
故存在a
1=-1,使S
n<a
n對(duì)任意大于1的正整數(shù)n均成立.
點(diǎn)評(píng):數(shù)列與不等式恒成立問(wèn)題結(jié)合起來(lái),能有效考查學(xué)生的邏輯思維能力和靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想和分類(lèi)討論的思想.