Question

如圖，已知橢圓C₁的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C₂的短軸為MN，且C₁，C₂的離心率都為e，直線l⊥MN，l與C₁交于兩點，與C₂交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D，且BO∥AN，則離心率e的范圍是（　　）

• A、

  2

  2

  ＜e＜1
• B、0＜e＜

  2

  2

• C、0＜e＜

  1

  2

• D、

  1

  2

  ＜e＜1

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：求出A，B的坐標，利用BO∥AN，求出t=a(1-

1

e2

)，結(jié)合|t|＜a，0＜e＜1，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)直線為x=t，則
由題意，C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1，C₂：

b2y2

a4

+

x2

a2

=1（a＞b＞0），
∴A（t，

a

b

a2-t2

），B（t，

b

a

a2-t2

），
∵BO∥AN，
∴

b a a2-t2

t

=

a b a2-t2

t-a

，
∴t=a(1-

1

e2

)，
∵|t|＜a，0＜e＜1，
∴

1-e2

e2

＜1，
∴

2

2

＜e＜1．
故選：A．

點評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，確定t=a(1-

1

e2

)是關(guān)鍵．